Gerhild Merdian
Die mathematischen Leistungen deutscher Schulkinder können dem internationalen Vergleich nicht standhalten - dies ist das zentrale Aussage der Pisastudie. Die Suche nach den Ursachen hat unter anderem eine Diskussion um die mathematische Früherziehung im Kindergarten ausgelöst. Obwohl Lernen reifungsabhängig ist und die Hirnentwicklung im Vorschulalter nicht abgeschlossen ist, benötigen Kinder zur Herausbildung mathematischer Kompetenzen von Anfang an gezielte Anregungen (Stern, 2003). Der erfolgreiche Umgang mit Mathematik setzt Zahlenwissen voraus, das über die Zählfunktion hinausgeht.
Berücksichtigt man die Tatsache, dass bereits Säuglinge Mengen unterscheiden können (Landerl & Butterworth, 2003), so kann davon ausgegangen werden, dass die Grundlagen für einen voll entwickelten Zahlbegriff, und somit für alle arithmetischen Fertigkeiten, bereits im Vorschulalter gelegt werden. Es gilt nun, den natürlichen Lernwillen der Kinder gezielt zu fördern, um nachfolgenden Bildungsprozessen den Boden zu bereiten. Diese Forderung findet im Bayerischen Bildungs- und Erziehungsplan für Kindergärten und Tageseinrichtungen von 2003 (BEP) ausdrücklich Berücksichtigung. Der Plan sieht vor, dass die Förderung kognitiver Fähigkeiten auch Inhalte betreffen muss, die die Entwicklung mathematischer Kompetenzen betreffen: "Es gilt, bei allen Kindern, Mädchen wie Buben, die vorhandene Neugier und den natürlichen Entdeckungsdrang auch hinsichtlich des Umgangs mit Zahlen, Mengen und geometrischen Formen für die Aneignung mathematischer Vorläuferkenntnisse und Fähigkeiten zu nutzen" (S. 77). Dabei fällt auf, dass die im BEP (S. 78) genannten Themenbereiche weitgehend mit den im aktuellen Lehrplan für die bayerische Grundschule formulierten Lernziele für das erste Schuljahr übereinstimmen.
Zur Bedeutung pränumerischer Vorerfahrungen
Seit einigen Jahren hat der Problembereich "Rechenschwäche" bzw. "Dyskalkulie" auch in Wissenschaft und Forschung einen gewissen Stellenwert erreicht, wenngleich den Betroffenen ein deutlich geringeres Interesse entgegengebracht wird als jenen Kindern, die mit Lese- und Rechtschreibproblemen zu kämpfen haben. Fakt ist, dass in lerntherapeutischen Einrichtungen die Zahl der Kinder, die Schwierigkeiten im mathematischen Anfangsunterricht haben, kontinuierlich zunimmt. Inzwischen geht man im Grundschulbereich von einer Prävalenz von ca. 5-8% der Kinder aus (Wehrmann, 2003).
Wer sich mit den Problemen rechenschwacher Kinder näher befasst, dem fällt auf, dass sie in den ersten Schuljahren häufig noch Unsicherheiten in den pränumerischen Grundlagen der Mathematik zeigen (Gaidoschik, 2003; Wehrmann, 2003). Die Ursachen hierfür sind bislang nicht eindeutig festzustellen. Ein verzögerter Entwicklungsprozess ist denkbar, ebenso genetische Prädispositionen und/oder ungünstige Lernbedingungen (z.B. Wejda, 2004).
Ein umfassendes Training pränumerischer Fertigkeiten schon vor der Einschulung könnte eine solide Basis für die Entwickung des Zahlbegriffs und - weitergehend - arithmetischer Fertigkeiten schaffen. Besonders bei Kindern, die diesbezüglich hinter den Leistungen ihrer Altersgenossen zurück bleiben, reichen offensichtlich alltägliche Anregungen nicht aus, um die Zahlbegriffsentwicklung zu sichern. Sie benötigen eine spezielle Förderung, wenn sie bis zum Zeitpunkt der Einschulung den Anforderungen des Mathematikunterrichts gewachsen sein sollen. Dies ist auch wichtig, um psychischen Beeinträchtigungen vorzubeugen: Kinder, die dem mathematischen Eingangsunterricht nicht ausreichend folgen können, beginnen bald unter ihren Schwierigkeiten zu leiden, mit der Folge von Ängsten, Depressionen und sozialen Problemen. "Besser als jede Therapie der Rechenschwäche ist die Prophylaxe..." (Lorenz, 2003, S. 8).
Prädikatoren für die Entwicklung arithmetischer Fertigkeiten
Der Erwerb elementarer Kulturtechniken wie Lesen, Schreiben und Rechnen ist in hohem Maß abhängig von auditiven und visuellen Wahrnehmungsprozessen. Während Lese- und Rechtschreibleistungen nachweislich mit auditiven Prozessen in Zusammenhang stehen, wird das Erlernen mathematischer Inhalte primär mit visuellen Wahrnehmungsmechanismen in Verbindung gebracht (Kaufmann, 2003). Frostig et al. (1977) umschreiben den Begriff der visuellen Wahrnehmung als die Fähigkeit, visuelle Reize zu erkennen, zu unterscheiden und sie durch Assoziationen mit früheren Erfahrungen zu interpretieren. Gemeint ist also nicht nur der Prozess des sensorischen Erkennens, sondern die kognitive Verarbeitung visueller Reize. Diese beinhaltet im Wesentlichen Klassifikationsleistungen, die Einschätzung von Größenrelationen (Größe, Länge, Breite, Höhe), die Wahrnehmungskonstanz (d.h. Objekte oder Mengen als gleich zu erkennen, unabhängig von ihrer räumlichen Anordnung) bzw. räumliche Vorstellungsleistungen (Raumlagebeziehungen, Rechts-links-Orientierung).
Zur Entwicklung des mathematischen Zahlbegriffs tragen aber nicht nur visuelle Wahrnehmungsleistungen bei. Eine besondere Rolle kommt hierbei auch dem Wissen um Zahlbilder und Zahlwörter sowie den Zählfertigkeiten zu (Krajewski, 2003).
In einer Längsschnittstudie an 195 Kindergartenkindern konnten Krajewski & Schneider (2004) aufzeigen, dass das mengen- und zahlbezogene Vorwissen einen ganz entscheidenden Einfluss auf die späteren Leistungen im Mathematikunterricht der Grundschule hat. Als gute Prädikatoren haben sich in dieser Untersuchung Seriationsleistungen, Mengenvergleich, Zahlenwissen, Zählfertigkeiten und erste Rechenfertigkeiten erwiesen. Kinder, die im Vorschulalter diesbezüglich schwache Leistungen zeigten, wurden auch in der zweiten Klasse als rechenschwach identifiziert.
Fasst man die in der neueren Literatur aufgeführten Prädikatoren für gute arithmetische Fertigkeiten zusammen, so werden übereinstimmend Klassifikationsleistungen, Seriationsleistungen, Mengenerfassung und Mengenvergleich, Gedächtnisleistungen, räumliche und zeitliche Orientierung sowie Zählfertigkeiten genannt (vgl. Ganser, 2004; Lorenz, 2003; Kaufmann, 2003). Es darf allerdings nicht unerwähnt bleiben, dass deren tatsächliche Relevanz und Reichweite wissenschaftlich noch nicht ausreichend gesichert ist.
Unabhängig davon, welcher Stellenwert den einzelnen Faktoren beigemessen werden kann, bestätigt die Praxis, dass eine erhebliche Anzahl von Grundschulkindern einen Entwicklungsrückstand bezüglich pränumerischer Fertigkeiten hat, der sich nachhaltig in den Rechenfertigkeiten niederschlägt (Gaidoschik, 2003; Wehrmann, 2003). Der "Kampf mit den Zahlen" (Wejda, 2004) beginnt also schon lange bevor die Kinder mit Zahlen als Recheneinheiten überhaupt in Berührung kommen.
Förderung pränumerischer Fertigkeiten
Wie lassen sich nun die mathematischen Basisfertigkeiten der Kinder in den genannten Bereichen gezielt fördern? Nach dem Stufenmodell von Aebli (z.B. Krajewski & Schneider, 2004) durchläuft die Entwicklung mathematischer Kompetenzen mehrere Phasen vom konkreten Handeln bis hin zum abstrakt-symbolischen Denken. Im Kindergartenalter steht der handelnde Umgang mit verschiedenen Materialien im Vordergrund. Demzufolge müssen Förderangebote zunächst handlungsorientiert sein, bevor der Übergang zur abstrakteren visuellen Darbietungsform vollzogen werden kann.
Bevor Fördermaßnahmen ergriffen werden, sollte immer umfassend diagnostiziert werden, da nicht von einem generellen pränumerischen Förderbedarf ausgegangen werden kann. Die individuellen Leistungsprofile können erheblich voneinander abweichen: Die Praxis zeigt, dass bei keinem durchschnittlich begabten rechenschwachen Kind bei allen genannten pränumerischen Prädikatoren Auffälligkeiten bestehen, viele dieser Kinder haben aber Probleme in einzelnen Bereichen. Diese gilt es zunächst abzuklären.
Die im Folgenden vorgestellten Übungen sollen exemplarisch - anhand von taktilen Aufgaben mit Holzlegeplättchen in verschiedenen Farben, Formen und Größen - aufzeigen, wie Vorschulkinder, bei denen der Verdacht auf einen Entwicklungsrückstand hinsichtlich der mathematischen Vorläuferfertigkeiten besteht, gezielt trainiert werden können. Sie sind Teile eines Trainingsprogramms, das vor allem für die Einzelförderung bzw. für die Förderung in Kleingruppen durch sonderpägadagogische Fachkräfte konzipiert ist. Zu den Materialien gehört darüber hinaus umfassendes Bildmaterial, das die mathematischen Vorläuferfertigkeiten mit semantischen Inhalten trainiert (Merdian, 2004; 2005). Es bietet die Möglichkeit, den Zugang zum mathematischen Denken spielerisch mit kindgemäßen Inhalten und Materialien zu erleichtern.
Klassifikationsleistungen
Auf dem Tisch liegen ungeordnet Legeplättchen in verschiedenen Formen, Farben und Größen. Die Kinder sollen alle Plättchen zusammenzulegen, die etwas gemeinsam haben. Die Kinder überlegen - da gibt es mehrere Möglichkeiten. Was ist wohl gemeint? Lisa beginnt alle roten Plättchen herauszusuchen, Marco schließt sich an, indem er alle blauen Plättchen auswählt. Übrig bleiben die gelben Plättchen. Auf dem Tisch liegen nun drei Stapel nach Farben sortierter Plättchen. Auf Nachfrage können Lisa und Marco sofort sagen, wonach sie die Plättchen sortiert haben - nach der Farbe eben. Es ist ihnen gelungen, andere Merkmale wie Form und Größe zu ignorieren und nur die Farbe als alleiniges Sortierkriterium zu berücksichtigen. Nun werden die Plättchen wieder gemischt. Können die Plättchen auch noch anders sortiert werden? Es fällt den Kindern schon deutlich schwerer, die geometrischen Formen Kreis, Viereck und Dreieck als gemeinsames Sortiermerkmal zu erkennen und dabei die Farben und Größen außer Acht zu lassen. Letztlich zeigt sich, dass fast alle Kinder Schwierigkeiten damit haben, die Plättchen nach der Größe (große Plättchen, kleine Plättchen) in nur zwei Stapel zu sortieren.
Das Ordnen verschiedener Materialien nach Gemeinsamkeiten ist mathematisch gesehen die Grundlage für die Addition, denn nur Dinge, die irgendeine Gemeinsamkeit aufweisen, können sinnvoll zusammengefasst - mit anderen Worten addiert - werden.
Seriationsleistungen
Verschiedene Legeplättchen sind in einer bestimmten Abfolge aneinandergereiht: Zuerst das gelbe Dreieck, danach der rote Kreis, der blaue Kreis, das gelbe Viereck und dann wieder das gelbe Dreieck, der rote Kreis. Die Kinder sollen die Abfolge der Plättchen erkennen und die Reihe fortsetzen. Lisa und Marco haben damit zunächst keine Probleme. Komplizierter wird es erst, wenn die Anzahl der Elemente in der Reihe erhöht wird und auch noch die kleinen Plättchen hinzukommen.
Die Operation der Reihung und die Positionierung innerhalb einer Reihe ist eine wesentliche Voraussetzung für die Entwicklung des Zahlbegriffs und vor allem bedeutsam für die Orientierung im Zahlenraum (Vorgänger/ Nachfolger einer Zahl) und das Verständnis für den Aufbau des dekadischen Stellenwertsystems.
Mengenerfassung und Mengenvergleich
Vor Lisa liegen zwei Mengenanordnungen mit fünf bzw. sieben runden Legeplättchen. Lisa wird gefragt, welche Menge mehr Plättchen enthält. Sie zögert, kommt spontan zu keiner Entscheidung. Schließlich zählt Lisa die Elemente beider Mengen, nennt die richtige Anzahl und zeigt auf die größere Menge. Die Nachfrage nach dem Unterschied in der Anzahl der Elemente jeder Menge kann Lisa nicht beantworten.
Es kann davon ausgegangen werden, dass mengen- und zahlbezogenes Vorwissen entscheidenden Einfluss darauf hat, wie gut die Kinder später den Stoff des Mathematikunterrichts beherrschen (z.B. Wejda, 2004). Kinder mit Rechenschwierigkeiten scheinen speziell in Bezug auf die simultane Mengenerfassung benachteiligt zu sein. Normalerweise werden Mengen bis fünf erkannt, ohne dass sie abgezählt werden müssen. Einer Studie von Landerl & Butterworth (2003) zu Folge, setzt dagegen bei rechenschwachen Kindern der Zählprozess bereits bei kleinsten Mengen ein. Das bedeutet, dass diese Kinder bei einfachen arithmetischen Aufgaben durch zählendes Rechnen zwar zum richtigen Ergebnis kommen können, der Zeitaufwand aber ungleich größer als bei unauffälligen Rechnern ist.
Mengeninvarianz
Nun werden in mehreren Reihen jeweils acht verschiedene Legeplättchen angeordnet. Die erste Reihe enthält nur große Plättchen, die zweite nur kleine. In einer weiteren Reihe sind große und kleine Plättchen gemischt eng aneinandergereiht. In der vierten Anordnung sind wieder nur große Plättchen, diesmal aber weit auseinandergezogen angeordnet. Marco soll entscheiden, wo die meisten Plättchen liegen. Spontan zeigt er auf die vierte Reihe. Marco soll nun die Plättchen jeder Reihe abzählen. Er nennt die jeweils korrekte Anzahl. Erneut gefragt, ob denn nun in einer Reihe mehr Plättchen liegen als in den anderen, zeigt Marco wieder auf die vierte Reihe.
Marcos Entscheidung für die Anordnung mit der größten räumlichen Ausdehnung zeigt, dass sein Mengenverständnis noch veränderlich (variant) ist. Mengeninvarianz besteht erst dann, wenn "mehr" nicht das ist, was mehr Raum einnimmt, sondern die größere Quantität bezeichnet.
Gedächtnisleistungen
Es werden je zwei verschiedenfarbige Kreise und Dreiecke in einer Reihe angeordnet. Lisa soll sich die Plättchen genau ansehen. Anschließend wird die Vorlage abgedeckt. Lisa wird nun aufgefordert, mit anderen Plättchen die zuvor gesehene Anordnung nachzulegen.
Seit einigen Jahren wird in der Literatur wird auch der Einfluss des Arbeitsgedächtnisses auf die mathematischen Leistungen der Grundschulkinder diskutiert (z.B. Geary et al., 1999; Krajewski & Schneider, 2004). Rechenschwache haben danach vor allem Schwierigkeiten, während der gleichzeitigen Bearbeitung mehrerer Teilaufgaben Informationen im Arbeitsgedächtnis zu halten. In einer Untersuchung von Gaupp (2003) zeigte sich, dass rechenschwache Grundschulkinder vor allem bei visuell-räumlichen Gedächtnisaufgaben Probleme hatten.
Zählfertigkeiten
Marco kann problemlos die Zahlwörter bis zehn in der richtigen Reihenfolge aufsagen. Schwieriger wird es schon, wenn er die Legeplättchen, die vor ihm auf dem Tisch liegen, abzählen soll, indem er sie antippt und dabei laut zählt. Es kann passieren, dass Marco zweimal dasselbe Plättchen antippt und dabei weiterzählt. Der Aufforderung, fünf Plättchen zu zeigen, kommt Marco nach, indem er auf das fünfte von ihm gezählte Plättchen tippt.
Kinder beginnen schon früh, die Zahlwortreihe auswendig aufzusagen. Zum Zeitpunkt der Einschulung kennen fast alle die Zahlwortreihe bis zehn und können vorwärts zählen (Moser-Opitz, 2001). Dies heißt aber nicht, dass sie bereits eine Vorstellung davon entwickelt haben, welche konkreten Mengen mit den Zahlwörtern bzw. Zahlbildern in Verbindung stehen. Zahlen werden zunächst nur in ihrem Ordinalaspekt interpretiert, nämlich als definiertes Element in einer bestimmten Rangfolge.
Entscheidend für die Entwicklung des Zahlbegriffs ist aber die Verknüpfung von Zahl und Menge, d.h. die Erkenntnis, dass natürliche Zahlen die Anzahl von Objekten in einer Menge repräsentieren. Um zu verstehen, dass Kardinalzahlen unveränderlich gleiche Mengen repräsentieren, ist es somit notwendig, den Begriff der Gleichheit, aber auch relationale Begriffe der Mächtigkeit wie "größer/ kleiner" oder "mehr/ weniger" erfasst zu haben (z.B. Gaidoschik, 2003; Wehrmann, 2003).
Räumliche Orientierung
Neun Legeplättchen in verschiedenen Farben und Formen sind in einer 3x3-Felder-Matrix angeordnet. "Zeige mir bitte das Plättchen, das genau in der Mitte liegt!", wird Lisa aufgefordert. "Und welches liegt links davon?", lautet die Frage, nachdem Lisa das richtige Plättchen gezeigt hat. "Was liegt über dem roten Viereck?", so die nächste Frage.
Mit diesen und weiteren Aufgaben sollen die Kinder lernen, die Raumlage eines Gegenstandes in Bezug zu anderen Gegenständen und zum eigenen Körper zu erkennen. Vor allem für Aufgaben aus der Geometrie, aber auch für das Verständnis des Stellenwertsystems muss die Verfügbarkeit über bestimmte Begriffe der räumlichen Orientierung gesichert sein. Raumlageprobleme haben direkte Auswirkungen auf den Umgang mit mathematischen Zeichen und Symbolen: Verdrehung von Zahlen, Verwechslung der Rechenzeichen und Rechenrichtungen sind die Folge.
Schlussbemerkung
Es kann davon ausgegangen werden, dass arithmetische Fähigkeiten, wie sie in der Grundschule gefordert sind, Kompetenzen in pränumerischen Vorläuferfertigkeiten voraussetzen. Bedauerlicherweise stehen all jenen, die in der Praxis mit dem Problem der Rechenschwäche konfrontiert sind, bislang weder ausreichend theoretische Befunde noch praktische Arbeitshilfen zur Verfügung. Es besteht bezüglich der Prävention von Rechenschwierigkeiten ein hoher Bedarf, der zum einen die wissenschaftliche Fundierung der in der Diskussion stehenden Prädikatoren anbelangt, zum anderen deren praktische Umsetzung in Form konkreter Arbeitsmaterialien.
Literatur
Bayerisches Staatsministerium für Arbeit- und Sozialordnung, Familie und Frauen (Hrsg.): Der Bayerische Bildungs- und Erziehungsplan für Kinder in Tageseinrichtungen bis zur Einschulung. Entwurf für die Erprobung. Weinheim: Beltz 2003.
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Hrsg.): Lehrplan für die bayerische Grundschule. München, 2000.
Frostig, Marianne; Horne, David & Miller, Ann-Marie: Visuelle Wahrnehmungsförderung. Dortmund: Crüwell 1977.
Gaidoschik, Michael: Rechenschwäche - Dyskalkulie. Eine unterrichtspraktische Einführung für Lehrerinnen und Eltern. Wien: Persen, 2003.
Ganser, Bernd: Theoretische Grundbausteine. In: Akademie für Lehrerfortbildung und Personalführung Dillingen (Hrsg.): Rechenstörungen: Hilfen für Kinder mit besonderen Schwierigkeiten beim Erlernen der Mathematik. Donauwörth: Auer, 2004 S. 6-25.
Gaupp, Nora: Dyskalkulie, Arbeitsgedächtnisdefizite und Defizite numerischer Basiskompetenzen rechenschwacher Kinder. Berlin: Logos, 2003.
Geary, D.C.; Hoard, M.K. & Hamson, C.O.: Numerical and arithmetic cognition. Patterns of functions and deficits in children at risk for mathematical disability. In: Journal of Experimental Child Psychology 74, 1999, S. 213-239.
Kaufmann, Sabine: Früherkennung von Rechenstörungen in der Eingangsklasse der Grundschule und darauf abgestimmte remediale Maßnahmen. Frankfurt am Main: Lang, 2003.
Krajewski, Kristin: Vorhersage von Rechenschwäche in der Grundschule. Hamburg: Dr. Kovac, 2003.
Krajewski, Kristin & Schneider, Wolfgang: Frühe Diagnose und Prognose von Rechenschwäche mit dem DEMAT. In: Akademie für Lehrerfortbildung und Personalführung Dillingen (Hrsg.): Rechenstörungen: Hilfen für Kinder mit besonderen Schwierigkeiten beim Erlernen der Mathematik. Donauwörth: Auer, 2004, S. 84-92.
Landerl, Karin & Butterworth, Brian: Spezifische Rechenschwierigkeiten/ Dyskalkulie: Viele Fragen, erste Antworten. In: Friederike Lenart, Norbert Holzer & Hubert Schaupp (Hrsg.): Rechenschwäche - Rechenstörung - Dyskalkulie: Erkennung, Prävention, Förderung. Graz: Leykam, 2003, S. 32-38.
Lorenz, Jens Holger: Lernschwache Rechner fördern. Berlin: Cornelsen, 2003.
Merdian, Gerhild: Training mathematischer Grundfertigkeiten: Materialien zur Förderung visueller Wahrnehmungsprozesse und kognitiver Operationen, Teil 1 - 4. Bamberg: Paepsy, 2004.
Merdian, Gerhild: Takto - Taktiles Training mathematischer Grundfertigkeiten. Bamberg: Paepsy, 2005.
Moser-Opitz, Elisabeth: Zählen, Zahlbegriff, Rechnen. Bern, Stuttgart, Wien: Haupt, 2001.
Stern, Elsbeth: Lernen, der wichtigste Hebel der geistigen Entwicklung. Universitas 2003, 58, S. 454-464, 567-582.
Wehrmann, Michael: Qualitative Diagnostik von Rechenschwierigkeiten im Grundlagenbereich Arithmetik. Berlin: Dr. Köster, 2003.
Wejda, Simone: Rechenschwäche - Der Kampf mit den Zahlen. Berlin: Cornelsen, 2004.